Абонент забыл две последние цифры номера телефона, но помнит, что они разные. Определить вероятность...

Вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, равна 2/9.

Для решения задачи необходимо понять, сколько всего вариантов разных последних двух цифр существует и какова вероятность угадать правильную комбинацию за пять попыток.

1. Общее количество возможных комбинаций: Последние две цифры номера телефона могут варьироваться от 00 до 99, что дает нам 100 возможных комбинаций. Однако, поскольку абонент помнит, что цифры разные, нам нужно исключить пары одинаковых цифр $00,11,22итакдалее$, что составляет 10 комбинаций $однадлякаждойцифрыот0до9$. Таким образом, остаётся 100 - 10 = 90 возможных комбинаций.

2. Число благоприятных исходов: Нам нужно определить вероятность того, что правильная комбинация будет найдена за пять или меньше попыток. В этом случае благоприятные исходы — это те, когда одна из пяти попыток оказывается успешной.

3. Вероятность успеха за одну попытку: Поскольку каждая попытка набора номера является независимой и вероятность успеха за одну попытку составляет $\frac{1}{90}$, то вероятность неудачи за одну попытку равна $\frac{89}{90}$.

4. Вероятность успеха за пять попыток: Вероятность того, что абонент не угадает номер ни в одну из первых четырёх попыток, а угадать на пятую попытку можно рассчитать следующим образом:

   • Вероятность неудачи за одну попытку: $\frac{89}{90}$
   • Вероятность неудачи за четыре попытки: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$^4 )
   • Вероятность успеха на пятую попытку: $\frac{1}{90}$

   Таким образом, вероятность того, что будет успех именно на пятой попытке: $P(успехна5-йпопытке)={\left(\frac{89}{90}\right)}^4\times \frac{1}{90}$

5. Суммарная вероятность успеха за пять попыток: Однако, нам нужно суммировать вероятности успеха на всех пяти попытках $тоесть,успехнапервой,второй,третьей,четвертойилипятойпопытке$:

   • Вероятность успеха на первой попытке: $\frac{1}{90}$
   • Вероятность успеха на второй попытке: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ \times \frac{1}{90} )
   • Вероятность успеха на третьей попытке: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$^2 \times \frac{1}{90} )
   • Вероятность успеха на четвертой попытке: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$^3 \times \frac{1}{90} )
   • Вероятность успеха на пятой попытке: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$^4 \times \frac{1}{90} )

   Суммируем эти вероятности: $P(успехаза5попыток)=\frac{1}{90}+\left(\frac{89}{90}\right)\times \frac{1}{90}+{\left(\frac{89}{90}\right)}^2\times \frac{1}{90}+{\left(\frac{89}{90}\right)}^3\times \frac{1}{90}+{\left(\frac{89}{90}\right)}^4\times \frac{1}{90}$

   Выносим общий множитель $\frac{1}{90}$ за скобки: $P(успехаза5попыток)=\frac{1}{90}(1+\frac{89}{90}+{\left(\frac{89}{90}\right)}^2+{\left(\frac{89}{90}\right)}^3+{\left(\frac{89}{90}\right)}^4)$

   Это сумма первых пяти членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем $\frac{89}{90}$: $S_5=\frac{1-{\left(\frac{89}{90}\right)}^5}{1-\frac{89}{90}}$

   Подставляем знаменатель и числитель: $S_5=\frac{1-{\left(\frac{89}{90}\right)}^5}{\frac{1}{90}}=90(1-{\left(\frac{89}{90}\right)}^5)$

   Тогда вероятность успеха за пять попыток: $P(успехаза5попыток)=\frac{1}{90}\cdot 90(1-{\left(\frac{89}{90}\right)}^5)=1-{\left(\frac{89}{90}\right)}^5$

   Вычислим $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$^5 ): ${\left(\frac{89}{90}\right)}^5\approx 0.9509900499$

   Итак, окончательная вероятность: $P(успехаза5попыток)\approx 1-0.9509900499=0.0490099501\approx 0.049$

   Таким образом, вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, составляет примерно 0.049 или 4.9%.

Для решения данной задачи можно воспользоваться принципом комбинаторики.

Итак, у нас есть 10 возможных вариантов для каждой из двух забытых цифр $от0до9$. Поскольку абонент помнит, что цифры разные, то количество возможных комбинаций будет равно произведению количества вариантов для первой цифры $10$ на количество вариантов для второй цифры $9$.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций равно 10 * 9 = 90.

Теперь нужно определить вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест. Для этого нужно посчитать количество способов, которыми он может набрать эти две цифры.

Если абонент звонит в одно место, то количество возможных комбинаций будет равно 1 $таккаконточноугадаетоднуцифруиунегоостанетсяоднацифрадляугадывания$.

Если абонент звонит в два места, то количество возможных комбинаций будет равно 2 $онможетугадатьпервуюцифруиошибитьсявовторой,илинаоборот$.

Если абонент звонит в три места, то количество возможных комбинаций будет равно 3.

Таким образом, общее количество способов, которыми абонент может набрать эти две цифры не более чем в пять мест, равно 1 + 2 + 3 = 6.

Итак, вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, равна количеству благоприятных исходов $6$ к общему числу возможных исходов $90$, то есть 6/90 = 1/15 или около 0.0667 $илиоколо6.67$.

Таким образом, вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, составляет около 6.67%.