Абонент забыл две последние цифры номера телефона, но помнит, что они разные. Определить вероятность...

Вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, равна 2/9.

Для решения задачи необходимо понять, сколько всего вариантов разных последних двух цифр существует и какова вероятность угадать правильную комбинацию за пять попыток.

1. Общее количество возможных комбинаций: Последние две цифры номера телефона могут варьироваться от 00 до 99, что дает нам 100 возможных комбинаций. Однако, поскольку абонент помнит, что цифры разные, нам нужно исключить пары одинаковых цифр (00, 11, 22 и так далее), что составляет 10 комбинаций (одна для каждой цифры от 0 до 9). Таким образом, остаётся 100 - 10 = 90 возможных комбинаций.

2. Число благоприятных исходов: Нам нужно определить вероятность того, что правильная комбинация будет найдена за пять или меньше попыток. В этом случае благоприятные исходы — это те, когда одна из пяти попыток оказывается успешной.

3. Вероятность успеха за одну попытку: Поскольку каждая попытка набора номера является независимой и вероятность успеха за одну попытку составляет ( \frac{1}{90} ), то вероятность неудачи за одну попытку равна ( \frac{89}{90} ).

4. Вероятность успеха за пять попыток: Вероятность того, что абонент не угадает номер ни в одну из первых четырёх попыток, а угадать на пятую попытку можно рассчитать следующим образом:

   • Вероятность неудачи за одну попытку: ( \frac{89}{90} )
   • Вероятность неудачи за четыре попытки: ( \left(\frac{89}{90}\right)^4 )
   • Вероятность успеха на пятую попытку: ( \frac{1}{90} )

   Таким образом, вероятность того, что будет успех именно на пятой попытке: [ P(успех на 5-й попытке) = \left(\frac{89}{90}\right)^4 \times \frac{1}{90} ]

5. Суммарная вероятность успеха за пять попыток: Однако, нам нужно суммировать вероятности успеха на всех пяти попытках (то есть, успех на первой, второй, третьей, четвертой или пятой попытке):

   • Вероятность успеха на первой попытке: ( \frac{1}{90} )
   • Вероятность успеха на второй попытке: ( \left( \frac{89}{90} \right) \times \frac{1}{90} )
   • Вероятность успеха на третьей попытке: ( \left( \frac{89}{90} \right)^2 \times \frac{1}{90} )
   • Вероятность успеха на четвертой попытке: ( \left( \frac{89}{90} \right)^3 \times \frac{1}{90} )
   • Вероятность успеха на пятой попытке: ( \left( \frac{89}{90} \right)^4 \times \frac{1}{90} )

   Суммируем эти вероятности: [ P(успеха за 5 попыток) = \frac{1}{90} + \left( \frac{89}{90} \right) \times \frac{1}{90} + \left( \frac{89}{90} \right)^2 \times \frac{1}{90} + \left( \frac{89}{90} \right)^3 \times \frac{1}{90} + \left( \frac{89}{90} \right)^4 \times \frac{1}{90} ]

   Выносим общий множитель ( \frac{1}{90} ) за скобки: [ P(успеха за 5 попыток) = \frac{1}{90} \left( 1 + \frac{89}{90} + \left( \frac{89}{90} \right)^2 + \left( \frac{89}{90} \right)^3 + \left( \frac{89}{90} \right)^4 \right) ]

   Это сумма первых пяти членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем ( \frac{89}{90} ): [ S_5 = \frac{1 - \left( \frac{89}{90} \right)^5}{1 - \frac{89}{90}} ]

   Подставляем знаменатель и числитель: [ S_5 = \frac{1 - \left( \frac{89}{90} \right)^5}{\frac{1}{90}} = 90 \left( 1 - \left( \frac{89}{90} \right)^5 \right) ]

   Тогда вероятность успеха за пять попыток: [ P(успеха за 5 попыток) = \frac{1}{90} \cdot 90 \left( 1 - \left( \frac{89}{90} \right)^5 \right) = 1 - \left( \frac{89}{90} \right)^5 ]

   Вычислим ( \left( \frac{89}{90} \right)^5 ): [ \left( \frac{89}{90} \right)^5 \approx 0.9509900499 ]

   Итак, окончательная вероятность: [ P(успеха за 5 попыток) \approx 1 - 0.9509900499 = 0.0490099501 \approx 0.049 ]

   Таким образом, вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, составляет примерно 0.049 или 4.9%.

Для решения данной задачи можно воспользоваться принципом комбинаторики.

Итак, у нас есть 10 возможных вариантов для каждой из двух забытых цифр (от 0 до 9). Поскольку абонент помнит, что цифры разные, то количество возможных комбинаций будет равно произведению количества вариантов для первой цифры (10) на количество вариантов для второй цифры (9).

Таким образом, общее количество возможных комбинаций равно 10 * 9 = 90.

Теперь нужно определить вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест. Для этого нужно посчитать количество способов, которыми он может набрать эти две цифры.

Если абонент звонит в одно место, то количество возможных комбинаций будет равно 1 (так как он точно угадает одну цифру и у него останется одна цифра для угадывания).

Если абонент звонит в два места, то количество возможных комбинаций будет равно 2 (он может угадать первую цифру и ошибиться во второй, или наоборот).

Если абонент звонит в три места, то количество возможных комбинаций будет равно 3.

Таким образом, общее количество способов, которыми абонент может набрать эти две цифры не более чем в пять мест, равно 1 + 2 + 3 = 6.

Итак, вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, равна количеству благоприятных исходов (6) к общему числу возможных исходов (90), то есть 6/90 = 1/15 или около 0.0667 (или около 6.67%).

Таким образом, вероятность того, что абоненту придется звонить не более чем в пять мест, составляет около 6.67%.