Для того чтобы найти проверочное слово к глаголу "застилать", необходимо определить правильное написание корня слова, а именно, установить, пишется ли "и" или "ы" после согласной "ст".
Глагол "застилать" происходит от слова "стелить", где корень - "стел". Здесь буква "е" в корне означает, что после буквы "ст" в других формах и производных должна стоять именно "и", а не "ы".
Для подтверждения можно рассмотреть другие формы слова:
- Я застилаю;
- Он застилает;
- Мы застилали.
Во всех этих формах после "ст" стоит "и", что подтверждает изначальное написание.
Таким образом, проверочное слово к "застилать" – это "стелить", где четко слышно "е" после "ст", подтверждающее написание "и" в слове "застилать".