В корзине лежат 32 клубка красной и черной шерсти. Среди них 4 клубка красной шерсти. Сколько информации...

Для ответа на этот вопрос необходимо учитывать вероятность того, что будет извлечен клубок красной или черной шерсти. Изначально у нас 4 красных клубка и 28 черных клубков. Таким образом, вероятность извлечения красного клубка составляет 4/32 = 1/8, а вероятность извлечения черного клубка составляет 28/32 = 7/8.

Извлекая один клубок, мы можем получить два возможных исхода - красный или черный клубок. Для оценки информации, содержащейся в сообщении о том, что был извлечен один клубок, мы можем использовать понятие информационной энтропии.

Формула Шеннона для информационной энтропии H(X) = -Σ p(x) * log₂ p(x), где p(x) - вероятность события x.

Итак, информационная энтропия для сообщения о том, что был извлечен один клубок, составляет: H(X) = -(1/8 log₂(1/8) + 7/8 log₂(7/8)) = -(-3/8 log₂(2^3) + 7/8 log₂(2^(7/3))) = -(-3/8 3 + 7/8 7/3) = 3/8 3 + 7/8 7/3 ≈ 2.23 бит.

Таким образом, сообщение о том, что был извлечен один из клубков, содержит приблизительно 2.23 бит информации.

Чтобы определить, сколько информации содержится в сообщении о том, что был извлечен один клубок из корзины, мы можем использовать концепцию информационной энтропии, предложенную Клодом Шенноном. Информационная энтропия измеряет количество неопределенности или неожиданности в сообщении.

В данном случае у нас есть 32 клубка, из которых 4 красные и 28 черные (поскольку всего 32 - 4 = 28). Вероятности извлечения красного и черного клубка соответственно равны:

• Вероятность достать красный клубок: ( P(\text{красный}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} )
• Вероятность достать черный клубок: ( P(\text{черный}) = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} )

Информационная энтропия ( H ) для такой системы с двумя возможными событиями (достать красный или черный клубок) рассчитывается по формуле:

[ H = - P(\text{красный}) \log_2 P(\text{красный}) - P(\text{черный}) \log_2 P(\text{черный}) ]

Подставим значения вероятностей:

[ H = - \left( \frac{1}{8} \log_2 \frac{1}{8} + \frac{7}{8} \log_2 \frac{7}{8} \right) ]

Вычислим каждую часть:

1. ( \log_2 \frac{1}{8} = -3 ) (потому что ( 2^{-3} = \frac{1}{8} ))
2. ( \log_2 \frac{7}{8} \approx -0.192 ) (используя логарифмический калькулятор)

Теперь подставим эти значения:

[ H = - \left( \frac{1}{8} \times (-3) + \frac{7}{8} \times (-0.192) \right) ]

[ H = - \left( -\frac{3}{8} - \frac{1.344}{8} \right) ]

[ H = \frac{3}{8} + \frac{1.344}{8} ]

[ H = \frac{4.344}{8} \approx 0.543 ]

Таким образом, информация, содержащаяся в сообщении о том, что был извлечен один из клубков, равна примерно 0.543 бита. Это значение показывает среднее количество информации, которое вы получаете, узнавая цвет извлеченного клубка.