Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. найти вероятность того...

Для решения данной задачи используем формулу Бернулли, которая позволяет найти вероятность появления события k раз в n испытаниях.

Поскольку вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7, вероятность не появления события в каждом испытании будет равна 0,3.

Для нахождения вероятности того, что событие не появится менее 1470 раз и не более 1500 раз, необходимо сложить вероятности появления события k раз для k от 1470 до 1500:

P(1470

Для решения данной задачи нам нужно использовать нормальное приближение биномиального распределения, так как число испытаний достаточно велико.

1. Определение параметров биномиального распределения:

   В нашей задаче:

   • Количество испытаний ( n = 2100 ).
   • Вероятность успеха в каждом испытании ( p = 0.7 ).

2. Математическое ожидание и стандартное отклонение:

   Для биномиального распределения математическое ожидание ( \mu ) и стандартное отклонение ( \sigma ) определяются следующим образом: [ \mu = n \times p = 2100 \times 0.7 = 1470 ] [ \sigma = \sqrt{n \times p \times (1 - p)} = \sqrt{2100 \times 0.7 \times 0.3} = \sqrt{441} = 21 ]

3. Использование нормального приближения:

   Чтобы найти вероятность того, что событие произойдет не менее 1470 и не более 1500 раз, используем нормальное распределение с параметрами, определенными выше.

   Нам нужно найти: [ P(1470 \leq X \leq 1500) ]

   Применяя непрерывное нормальное распределение, используем корректировку на непрерывность: [ P(1469.5 < X < 1500.5) ]

4. Стандартизация и использование таблицы стандартного нормального распределения:

   Преобразуем границы интервала в стандартные нормальные величины ( Z ):

   [ Z_1 = \frac{1469.5 - 1470}{21} \approx \frac{-0.5}{21} \approx -0.0238 ] [ Z_2 = \frac{1500.5 - 1470}{21} \approx \frac{30.5}{21} \approx 1.4524 ]

   Теперь используем таблицу стандартного нормального распределения (или калькулятор) для поиска вероятностей:

   [ P(Z < -0.0238) \approx 0.4905 ] [ P(Z < 1.4524) \approx 0.9265 ]

5. Нахождение искомой вероятности:

   [ P(1470 \leq X \leq 1500) = P(Z < 1.4524) - P(Z < -0.0238) = 0.9265 - 0.4905 = 0.436 ]

Таким образом, вероятность того, что событие произойдет не менее 1470 и не более 1500 раз в 2100 испытаниях, составляет примерно 0.436.

Для нахождения вероятности того, что событие произойдет от 1470 до 1500 раз в 2100 испытаниях, необходимо сложить вероятности всех возможных вариантов (от 1470 до 1500) исходов исходя из биномиального распределения.